Concept of how many zeros and one digit
before zeros
Introduction
आप सभी प्रिय मित्रों का स्वागत है। आज इस पोस्ट में हम
लोग सीखेंगे कि गुणा में कोई सीरीज चल रही है तो उसमें
कितने जीरो होंगे गुणा करने पर या क्रमागत संख्याओं के
गुणनफल में कितने जीरो होंगे या जीरो के पहले 1 डिजिट क्या
होगा उस टाइप की क्वेश्चन के बारे में जानेंगे ।
Note
Concept of zero mean concept of Composite
number (10)
हम लोग पिछले लेक्चर में कांसेप्ट ऑफ कमपोजिट नंबर के
बारे में सीखा था । आज उसी को दोबारा से फिर सीखने का
प्रयास करते हैं ।
Q 100! मे कितने 0 होंगे ? या 10 की अधिकतम घात
Ans
10 एक भाज्य संख्या है । मतलब
composite number , com = कम p =power
अतः इसको अभाज्य गुणनखंड में ब्रेक करके लिखने पर
जिसकी घात कम होगी । वही 10 की अधिकतम घात होगी ।
10 = 2×5
प्राइम नंबर की अधिकतम घात निकालने का नियम
5 |100
5 | 20
| 4
यहां पर पांच की अधिकतम घात 24 है।
5²⁴
Note
हम लोग जानते हैं कि लगातार क्रमागत संख्याओं में 2 की घात अधिकतम होती है अर्थात छोटे संख्या की घात हमेशा अधिकतम होगी। इसीलिए यहां पर केवल 5 की अधिकतम घात को निकाला गया है।
अतः 10 की अधिकतम घात 24 होगी।
10²⁴
Q 16 × 3 × 5 × 35 में 10 की अधिकतम घात बताओ या कितने 0 होंगे ?
Ans 0 निकालना हो या 10 की अधिकतम घात मतलब एक ही है।
16 × 3 × 5 × 35
2⁴ × 3 × 5 ×7×5
यहां पर 2⁴ & 5²
अब हम लोग चेक करते हैं कि किसकी घात कम है ।
यहां पर 5 की घात कम है ।
अर्थात
10 की अधिकतम घात = 2
10²
मतलब 00 होंगे ।
Concept of one digit before zeros
A
2 × A! × B!
HERE A = भागफल
B = शेषफल
Q 26! में जीरो की संख्या बताइए और 0 से पहले 1 डिजिट क्या होगा वह बताइए ।
Ans जीरो से पहले 1 डिजिट के लिए नियम
5) 26 ( 5👉 A
25
1👉 B
2⁵ × 5! × 1!
32 × 120 × 1
One digit before zero = 4 कैसे ?
क्योंकि 120 में 0 आ रहा है इकाई अंक पर 👉यह 0 पहले से ही नंबर ऑफ जीरो में काउंट हो चुका है ।
No of zero
5 | 26
5 | 5
| 1
यहां पर अधिकतम घात = 5⁶
अर्थात 10 की अधिकतम घात = 6
अर्थात 0 0 0 0 0 0
यहां पर 2 की घात इसलिए नहीं चेक किया क्योंकि लगातार संख्या में छोटी संख्या की घात अधिकतम होती है ।
Q 100! मे 0 से पहले का 1 डिजिट बताओ ।
Ans 5 ) 100 ( 20
100
×
2²⁰ × 20! × 0!
(2¹⁰)² × 20!× 1
76 × 20!
अब हम लोग फिर से 20! को हल करते है।
5) 20 ( 4
20
×
20! = 2⁴ × 4! × 0!
76 × 2⁴ ×4! × 0!
76 × 16 × 24 × 1
0 से पहले एक अंक 4
Q 1×3×5×........×99×64 को हल करने पर कितने शून्य आएंगे ।
Ans यहां पर विषम संख्या की सीरीज गुणा में चल रही है इससे सिद्ध होता है कि 2 इसके बीच में कहीं आएगा नहीं । अत: इसमें 5 की घात अधिक ही होगी सबसे , तो
64 में चेक करने पर
Minimum 2⁶ ✔️
Maximum 5
10 की अधिकतम घात = 6
मतलब 6 बार शुन्य होंगे ।
Q अभाज्य संख्या के गुणनफल में 0 की संख्या बताइए ।
|...........|
Ans 0 की संख्या 1 क्योंकि 2 x 3 x 5
Q 5×10×15×20×........×100 के गुणनफल में 0 की संख्या बताइए |
Ans 5×10×15×20×........×100 इसको हम लोग इस प्रकार से भी लिख सकते हैं -
5×1×5×2×5×3×5×4×......×5×20
यहां पर 5 गुणा में 20 बार आया है और गुणे में घाते जुड़ती हैं ।
5²⁰(1×2×3×4×5×6×........×20)
👉5²⁰ × 20!
अब देखो यह क्वेश्चन पुनः उसी रुप में आ गया
20! के लिए
{
2 तथा 5 की अधिकतम घात चेक करेंगे ।
2 | 20
2 | 10
2 | 5
2 | 2
| 1
दो की अधिकतम घात = 18
2¹⁸
5 | 20
| 4
यहां पर पांच की अधिकतम घात = 4
5⁴
}
Overall
👉5²⁰ × 20!
5²⁰ × 5⁴ × 2¹⁸
5²⁴ × 2¹⁸
Select minimum
2¹⁸
अर्थात 10 की अधिकतम घात = 18
0 की संख्या = 18
Q 10×20×30×40×......×100 में शून्य की संख्या बताइए ।
Ans उपरोक्त को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है -
10×1×10×2×10×3×10×4×........×10×10
यहां पर 10 10 बार आया है और गुणे में घाते जुड़ती है।
10¹⁰(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)
10¹⁰ × 10!
👉 2¹⁰×5¹⁰ ×10!
{
2 | 10
2 | 5
2 | 2
|1
Here
2⁸
5 | 10
| 2
Here
5²
}
मतलब 10! = 2⁸ × 5²
👉 2¹⁰×5¹⁰ ×10!
2¹⁰ ×5¹⁰ × 2⁸ × 5²
2¹⁸ × 5¹²
10 की अधिकतम घात = 12
0 की संख्या = 12
Q 1¹×2²×3³×4⁴×5⁵ में 0 की संख्या बताओ ।
Ans 5⁵ अर्थात 10 की अधिकतम घात = 5
मतलब 10⁵
0 की संख्या = 5
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