Concept of algebraic expression in number system
Concept of algebraic expression
(aⁿ - bⁿ) = (a-b)(aⁿ-¹b⁰ + aⁿ-²b¹ + aⁿ-³b² + aⁿ-⁴b³ +--------------+ a¹bⁿ-² + a⁰bⁿ-¹)
उपरोक्त से यह निष्कर्ष निकलता है कि इस प्रकार के
एक्सप्रेशन में (a-b)(एक बड़ा सा विस्तार) होता है ।
इस बड़े विस्तार को लिखने का तरीका यह होता है कि (aⁿ-bⁿ) बाई ओर से aⁿ-¹ से शुरू करते हैं और जब तक a⁰ ना आ जाए तब तक लिखते हैं और दाएं ओर से bⁿ-¹ से शुरू करते हैं जब तक b⁰ ना आ जाए ।
Some important Notes for algebraic expression in number system
यहां पर n = odd or even दोनों ही हो सकता है ।
(a² - b²) = (a - b)(a + b)
(a³ - b³) = (a - b)(a² + ab + b²)
(a⁴ - b⁴) = (a - b)(a³ + a²b + ab² + b³)
(a⁶ - b⁶) = (a - b)(a⁵ + a⁴b + a³b² + a²b³ + ab⁴ + b⁵)
Special condition
जब a और b 👉 odd हो ।
b a
a + b = (a +b)
Conclusion of algebraic expression in number system
यदि n विषम संख्या है तो aⁿ - bⁿ हमेशा (a - b) से विभाज्य होगा ।
यदि n सम संख्या है तो aⁿ - bⁿ हमेशा (a + b)(a - b) से विभाज्य होगा |
यदि n विषम संख्या है तो aⁿ + bⁿ हमेशा (a + b) से विभाज्य होगा ।
यदि n सम संख्या है तो aⁿ + bⁿ इसका कोई फार्मूला नहीं बनता है। ✖️
इसको याद रखने का तरीका -
विषम(1 या 3 ) का मतलब एक पद
सम(2) का मतलब दो पद
Example of algebraic expression in number system
Q 41⁵¹ - 1⁵¹ किससे विभाज्य होगा ?
Ans यहां पर घात विषम संख्या है तो एक पद होगा ।
पद👉40 अर्थात उपरोक्त 40 , 4 , 5 , 8 , 2 ,10 से विभाज्य होगा ।
Q 11¹⁰ - 1024 किससे विभाज्य होगा ?
Ans इसको हम लोग लिख सकते हैं -
11¹⁰ - 2¹⁰ मतलब घात सम है तो 2 पद होंगे
(11 + 2)(11 - 2)
13×9
मतलब यह कि 13 ,3 , 9 से विभाज्य होगा ।
Q 4⁴⁰ - 3²⁰ किससे विभाज्य होगा ?
Ans हम लोग इसको लिख सकते हैं
(4²)²⁰ - 3²⁰
16²⁰ - 3²⁰
यहां पर घात सम संख्या है तो 2 पद होंगे ।
(16+3)(16-3)
19×13
उपरोक्त 19 तथा 13 से विभाजित होगा ।
Q 11⁵¹ + 12⁵¹ + 13⁵¹ + 14⁵¹ किससे विभाज्य होगा ?
Ans हम लोग पुनः व्यवस्थित करके लिखने पर -
12⁵¹ +13⁵¹ + 11⁵¹ + 14⁵¹
अब हम लोग दो दो के युग्म बना लेते हैं ।
A👉 12⁵¹ +13⁵¹
जब भी घात विषम हो तो पद एक बनता है ।
पद (12 + 13)(एक बड़ा सा विस्तार=x )
25(x)
B👉 11⁵¹ + 14⁵¹
जब भी घात विषम हो तो पद एक बनता है ।
पद (11+14)(एक और बड़ा सा विस्तार= y )
25 (y)
A + B
25(x) + 25(y)
मतलब यह कि उपरोक्त 25 से विभाजित होगा ।
Q 1²⁰¹ + 2²⁰¹ + 3²⁰¹ + 4²⁰¹ + ------+ 916²⁰¹ + 917²⁰¹ + 918²⁰¹
Ans
A👉 1²⁰¹ + 918²⁰¹
(1 + 918)(एक बड़ा सा विस्तार=a)
119a
B👉 2²⁰¹ + 917²⁰¹
(2+917)(एक बड़ा सा विस्तार= y)
919y
C👉3²⁰¹ + 916²⁰¹
(3+916)( एक बड़ा सा विस्तार = z )
919z
D👉 4²⁰¹ + 915²⁰¹
(4+915)(एक बड़ा सा विस्तार = z ' )
919z'
मतलब यह उपरोक्त 919 से विभाजित होगा ।
Q 1⁴⁹ + 2⁴⁹ + 3⁴⁹ + 4⁴⁹ + ----------- +49⁴⁹
50
शेषफल ज्ञात कीजिए ।
Ans
A👉 1⁴⁹ + 49⁴⁹
(1 + 49)(एक बड़ा सा विस्तार= x )
50 x
B👉 2⁴⁹ + 48⁴⁹
(2 + 48)(एक बड़ा सा विस्तार = y )
50 y
C👉 3⁴⁹ + 47⁴⁹
(3 + 47)(एक बड़ा सा विस्तार = z )
50 z
इसमें एसा पद भी आएगा जिसका कोई युग्म नहीं होगा ।
अर्थात पद डी
D👉 25⁴⁹
उपरोक्त में अन्य सभी पद 50 से पूर्णतया विभाज्य होंगे लेकिन D वाला पद पूर्णतया विभाजित नहीं है ।
अर्थात
25⁴⁹
50
इसको हम लोग पुनः परिवर्तित करके लिखते हैं -
1
25⁴⁸
2
आइए बाय नॉमियल सर , आपका स्वागत है ।
1⁴⁸
2
Remainder 👉 1 × 25 = 25
25 से गुणा इसलिए किया क्योंकि 25 से पहले भाग किया गया था ।
Nice content
ReplyDeleteआपका बहुत आभार टिप्पणी करने के लिए |
DeleteGood brother
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