Concept of algebraic expression in number system

Concept of algebraic expression 

(aⁿ - bⁿ) = (a-b)(aⁿ-¹b⁰ + aⁿ-²b¹ + aⁿ-³b² + aⁿ-⁴b³ +--------------+ a¹bⁿ-² + a⁰bⁿ-¹)

उपरोक्त से यह निष्कर्ष निकलता है कि इस प्रकार के

 एक्सप्रेशन में  (a-b)(एक बड़ा सा विस्तार) होता है ।

इस बड़े विस्तार को लिखने का तरीका यह होता है कि (aⁿ-bⁿ)  बाई ओर से aⁿ-¹ से शुरू करते हैं और जब तक a⁰ ना आ जाए तब तक लिखते हैं और दाएं ओर से bⁿ-¹ से शुरू करते हैं जब तक b⁰ ना आ जाए ।

 Some important Notes for  algebraic expression in number system   

यहां पर n = odd or even दोनों ही हो सकता है ।

(a² - b²) = (a - b)(a + b)

(a³ - b³) = (a - b)(a² + ab + b²)

(a⁴ - b⁴) = (a - b)(a³ + a²b + ab² + b³)

(a⁶ - b⁶) = (a - b)(a⁵ + a⁴b + a³b² + a²b³ + ab⁴ + b⁵)

Special condition

जब a और b 👉 odd हो ।

  b     a

a  + b   = (a +b)

Conclusion  of algebraic expression in number system  

यदि n विषम संख्या है तो aⁿ - bⁿ हमेशा (a - b) से विभाज्य होगा ।

यदि n सम संख्या है तो aⁿ - bⁿ हमेशा (a + b)(a - b) से विभाज्य होगा |

यदि n विषम संख्या है तो aⁿ + bⁿ हमेशा (a + b) से विभाज्य होगा ।

यदि n सम संख्या है तो aⁿ + bⁿ इसका कोई फार्मूला नहीं बनता है। ✖️

इसको याद रखने का तरीका - 

विषम(1 या 3 ) का मतलब एक पद

सम(2) का मतलब दो पद

Example of algebraic expression in number system 

Q 41⁵¹ - 1⁵¹ किससे विभाज्य होगा ?

Ans यहां पर घात विषम संख्या है तो एक पद होगा ।

पद👉40 अर्थात उपरोक्त 40 , 4 , 5 , 8 , 2 ,10 से विभाज्य होगा ।

Q 11¹⁰ - 1024 किससे विभाज्य होगा ?

Ans  इसको हम लोग लिख सकते हैं -

11¹⁰ - 2¹⁰ मतलब घात सम है तो 2 पद होंगे

(11 + 2)(11 - 2)

13×9

मतलब यह कि  13 ,3 , 9 से विभाज्य होगा ।

Q 4⁴⁰ - 3²⁰ किससे विभाज्य होगा ?

Ans हम लोग  इसको लिख सकते हैं

(4²)²⁰ - 3²⁰

16²⁰ - 3²⁰

यहां पर घात सम संख्या है तो 2 पद होंगे ।

(16+3)(16-3)

19×13

उपरोक्त 19 तथा 13 से विभाजित होगा ।

Q 11⁵¹ + 12⁵¹ + 13⁵¹ + 14⁵¹ किससे विभाज्य होगा ?

Ans हम लोग पुनः व्यवस्थित करके लिखने पर -

12⁵¹ +13⁵¹ + 11⁵¹ + 14⁵¹

अब हम लोग दो दो के युग्म बना लेते हैं ।

A👉 12⁵¹ +13⁵¹

जब भी घात विषम हो तो पद एक बनता है ।

 पद (12 + 13)(एक बड़ा सा विस्तार=x )

25(x)

B👉 11⁵¹ + 14⁵¹

जब भी घात विषम हो तो पद एक बनता है ।

पद (11+14)(एक और बड़ा सा विस्तार= y )

25 (y)

A + B

25(x) + 25(y)

मतलब यह कि उपरोक्त 25 से विभाजित होगा ।

Q 1²⁰¹ + 2²⁰¹ + 3²⁰¹ + 4²⁰¹ + ------+ 916²⁰¹ + 917²⁰¹ + 918²⁰¹

Ans

A👉  1²⁰¹ + 918²⁰¹

   

     (1 + 918)(एक बड़ा सा विस्तार=a)

 119a

B👉 2²⁰¹ + 917²⁰¹

 (2+917)(एक बड़ा सा विस्तार= y)

919y

C👉3²⁰¹ + 916²⁰¹

(3+916)( एक बड़ा सा विस्तार = z )

919z

D👉 4²⁰¹ + 915²⁰¹

(4+915)(एक बड़ा सा विस्तार = z ' )

919z'

मतलब यह उपरोक्त 919 से विभाजित होगा ।

Q  1⁴⁹ + 2⁴⁹ + 3⁴⁹ + 4⁴⁹ + ----------- +49⁴⁹ 

                            50

  शेषफल ज्ञात कीजिए ।

Ans 

A👉 1⁴⁹ + 49⁴⁹

(1 + 49)(एक बड़ा सा विस्तार= x )

50 x

B👉 2⁴⁹ + 48⁴⁹

(2 + 48)(एक बड़ा सा विस्तार = y )

50 y

C👉 3⁴⁹ + 47⁴⁹

(3 + 47)(एक बड़ा सा विस्तार = z )

50 z

इसमें एसा पद भी आएगा जिसका कोई युग्म नहीं होगा ।

अर्थात पद डी

D👉 25⁴⁹

उपरोक्त में अन्य सभी पद 50 से पूर्णतया विभाज्य होंगे लेकिन D वाला पद पूर्णतया विभाजित नहीं है ।

अर्थात

         25⁴⁹   

         50

इसको हम लोग पुनः परिवर्तित करके लिखते हैं -

          1

         25×25⁴⁸  

             50 2

             25⁴⁸ 

             2

आइए बाय नॉमियल सर , आपका स्वागत है ।

          1⁴⁸  

             2

            Remainder 👉 1 × 25 = 25

25 से गुणा इसलिए किया क्योंकि 25 से पहले भाग किया गया था ।

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