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 Special Rule

Important points  

       4ⁿ        Remainder 👉 4

       6

Here, n is Number

ऐसा क्यों होता है?

तो आइए हम लोग इसको सिद्ध करते हैं ।

Note 

गुणा में घात हमेशा जुड़ती हैं तो हम इसी कांसेप्ट का प्रयोग करते हैं ।

हम ऐसा  लिख सकते हैं

         4ⁿ = 4×4ⁿ-¹

       

                  4×4ⁿ-¹ 

                      6

उपरोक्त में अंश तथा हर से दो उभयनिष्ठ लेने पर ।

                    2

                    4×4ⁿ-¹ 

                      6 3

      

                   2×4ⁿ-¹ 

                      3

अब हम लोग शेषफल लिखते हैं । शेषफल लिखने के 2 तरीके होते हैं । 

पहला तरीका धनात्मक शेषफल, 

दूसरा तरीका ऋणात्मक शेषफल,

                    -1×1

                     2×4ⁿ-¹ 

                       3   

                 -1   Remainder 👉 -1

                 3

जब भी शेषफल ऋणात्मक आता है तो हर में से घटा के लिखते हैं ।

अर्थात

            3-1 = 2 (शेषफल)

अंततः शेषफल 2 × 2 = 4 होगा । तो आप सोच रहे हैं कि 2 से मल्टिप्लाई क्यों किया गया ? क्योंकि कांसेप्ट की शुरुआत में 2 से भाग किया गया था ।

Finally Remainder 👉 4 

इस कांसेप्ट के base पर हम लोग काफी सारे नए रूल्स भी बना सकते हैं । But उनका कोई  फायदा नहीं है ।

जैसे -

10ⁿ   Remainder 👉 4

  6       

कैसे ?

इस को हल करने के कई तरीके हैं जैसे 

पहला तरीका binomial सर को बुला ले क्योंकि binomial sir बेस पर  हमला करते हैं ।

            (6+4)ⁿ   

             6    

पुनः पहले स्वरूप में आ गया 

             4ⁿ        Remainder 👉 4

             6

उपरोक्त से यह निष्कर्ष निकलता है कि यह कांसेप्ट उन सभी में लगेगा जिसमें 6 से भाग करने पर शेषफल 4 आता है।

Important points 

  Let(for concept understanding purpose only)

              odd = 1

            even = 2

                     odd

                   2           Remainder 👉 2

                   6

  

                     even

                   2            Remainder 👉 4( * )

                  6

*     4ⁿ       

       6      इसको इस कांसेप्ट की मदद से हल कर सकते है ।

 Important points 

       odd

odd        = odd

     even

odd       = odd

       even 

even      = even

      odd

even      = even

याद रखने का तरीका  जो base होगा वही अपना उत्तर होगा ।

Example

Q    16⁵⁰³   शेषफल बताइए |

           6

Binomial सर को बुलाते हैं ।

16 = 12 + 4

        4⁵⁰³  

           6

हम जानते हैं कि

           4ⁿ   Remainder 👉 4

           6

तो

                 4⁵⁰³   Remainder 👉 4

                 6

Q   100¹⁰⁰+100⁹⁹+100⁹⁸+------+100¹   

                               6

          शेषफल बताओ ।

This colour represent the remainder👉

      4     + 4    + 4    +-------+ 4

      4¹⁰⁰ + 4⁹⁹ + 4⁹⁸ +-------+ 4¹   

                    6

यहां पर 4 की घात 100 से सीरीज स्टार्ट हुई और 1 तक चली । अतः पद की संख्या 100

    4 + 4 + 4 + 4 +-----------100times  

                   6

      400   Remainder 👉 4

       6

Q      10¹⁰ + 10¹⁰⁰ + 10¹⁰⁰⁰ + 10¹⁰⁰⁰⁰  

                              7

         शेषफल बताइए |

इस टाइप के प्रश्न को binomial सर की हेल्प से सॉल्व करते हैं

10  = 7 + 3

        3¹⁰ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰⁰ + 3¹⁰⁰⁰⁰   

                     7

अब हम लोग फर्मेट सर के पास चलते हैं ।

7 का फर्मेट नंबर 6

         i        ii        iii          iv

        3¹⁰ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰⁰ + 3¹⁰⁰⁰⁰   

                     7

इसको अलग अलग पद में लिखने पर

 (i)

              

        3¹⁰ 

        7

                       

        3⁴ 

        7

3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3

3⁴ = 9 × 9

       2 × 2 = 4 Remainder

       9 × 9 

         7

                      

        3⁴  Remainder 👉 4

        7

(ii)

        3¹⁰⁰

          7

पुनः हम लोग फर्मेट सर के पास चलते हैं ।

7 का फर्मेट नंबर 6

        3⁴ Remainder 👉 4

        7

(iii)

                 3¹⁰⁰⁰  

                   7   

   पुनः हम लोग फर्मेट सर के पास चलते हैं ।

  7 का फर्मेट नंबर 6

       

        

        3⁴  Remainder 👉 4

        7

    

(iv)

                 3¹⁰⁰⁰⁰  

                   7   

   पुनः हम लोग फर्मेट सर के पास चलते हैं ।

  7 का फर्मेट नंबर 6

       

        

        3⁴  Remainder 👉 4

        7

     (i) + (ii)  +(iii) + (iv) 

                7

                16  Remainder 👉 2

               7

             64

           64

         64

Q   64      शेषफल बताओ ।

      6

Ans  इस प्रकार के प्रश्न में सबसे पहले बाय नॉमिनल को बुलाते हैं ।

              

             64

           64

         64

       4     Remainder 👉 4 कैसे ?

      6

क्योंकि 4 की घात कुछ भी हो हमेशा 6 से भाग करने पर शेषफल चार आता है।

        

             32

           32

        32

Q  32   शेषफल बताइए |

     3

Ans   

                32

              32

            32

    (33-1)   

     3

बाय नॉमियल सर आ जाइए आप 

                32

              32

            32

         -1    remainder 👉 1 क्यों ?

         3

क्योंकि -1 की घात यदि सम संख्या हैतो उसका मान हमेशा +1 आता है ।

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